Las Matemáticas de la Ruleta

AVISO: Este artículo no pretende fomentar el juego, ni la ludopatía. Se trata de un análisis enfocado en las matemáticas del juego, donde se explica si el juego puede ser rentable o no y como analizarlo.

¿Crees que se puede ganar en la Ruleta?. En este artículo analizaré el juego de la Ruleta a nivel matemático para que sepas si es posible o no ganar a largo plazo. ¿Estás preparado?

1.Reglas de la Ruleta
 1.1.Apuestas de la Ruleta
2.Estudio matemático de la Ruleta
 2.1.Esperanza matemática de un pleno
 2.2.Ganancia esperada de un pleno
 2.3.Ganancia esperada de todas las apuestas
 2.4.Simulación con dinero real
3.Preguntas más frecuentes
4.Conclusiones

1.Reglas de la Ruleta

-La Ruleta Europea se compone de 37 números que giran y se lanza una bola que cae en uno de ellos.

Ruleta Europea

-Las apuestas se hacen en base a un número, o a un grupo de ellos y se premian de diferente manera.

–18 de los números son rojos y los otros 18 negros que sumados al 0 nos dan 37.

-La mitad de los números son pares y la otra mitad son impares, excepto el 0 que no se considera par ni impar en este juego.

-En la Ruleta americana tenéis un número más que es el doble cero pero en este vídeo nos centraremos en la ruleta europea con un solo cero.

Ruleta Americana

-Las apuestas pueden hacerse con la ruleta parada o en movimiento desde que el crupier o la máquina indiquen abran juego y hasta que indiquen “no va más”.

-Una vez la bola ha caído en el número, se procede a premiar a los que han acertado y la banca se queda con las fichas restantes de los jugadores que han perdido sus apuestas.

Apuestas y probabilidades de la Ruleta

Vamos a ver ahora todas las apuestas o jugadas de la ruleta europea a las que puedes apostar y cuales son sus probabilidades:

Apuestas Sencillas (suertes sencillas)

• Rojo-Negro: 1 a 1 (probabilidades 18/37 =~ 48.6%) (47.4% Ruleta Americana)

• Par-Impar: 1 a 1 (probabilidades 18/37 =~ 48.6%) (47.4% Ruleta Americana)

• Pasa-Falta (19-36/1-18):  (probabilidades 18/37 =~ 48.6%) (47.4% Ruleta Americana)

Apuestas Múltiples (suertes con otras probabilidades)

• Doble Docena: 1/2  a 1 (probabilidades 24/37 =~ 64.8%) (63,1% Ruleta Americana)

• Doble Columna: 1/2 a 1 (probabilidades 24/37 =~ 64.8%) (63,1% Ruleta Americana)

• Docena: 2 a 1 (probabilidades 12/37=~  32.4%) (31.6% Ruleta Americana)

• Columna: 2 a 1 (probabilidades 12/37 =~ 32.4%) (31.6% Ruleta Americana)

• Línea/Seisena: 5 to 1 (probabilidades 6/37 =~ 16.2%) (15.8% Ruleta Americana)

• Cuadro: 8 a 1 (probabilidades 4/37 =~ 10.8%) (10.5% American Ruleta Americana)

• Calle: 11 a 1 (probabilidades 6/37 =~ 8.1%) (7.9% American Ruleta Americana)

• Caballo/Media: 17 a 1 (probabilidades 2/37 =~ 5.4%) (5.3% Ruleta Americana)

• Pleno: 35 a 1 (probabilidades 1/37 =~ 2.7%) (2.60% Ruleta Americana)

Como hemos visto las jugadas simples y algunas múltiples son realmente lo mismo a nivel matemático. También hemos visto que el premio aumenta en proporción a lo difícil que es acertar.

Entonces nos surgen varias preguntas:

-¿El premio que recibimos es rentable?

-Si unas tienen mas premio pero otras son más fáciles de acertar, ¿cual nos sale es mejor para apostar?

2.Estudio Matemático de la Ruleta

Si estudiamos la ruleta desde el punto de vista matemático nos daremos cuenta de que cualquier apuesta es un experimento con dos posibles resultados éxito y fracaso, donde la probabilidad de acertar cada número es la misma, independientemente de los números que cojamos, ya que todos los números tienen la misma probabilidad de salir.

Además cada tirada no depende de la anterior y no importa el número que haya salido antes.

En este escenario ideal el número de aciertos para una serie de tiradas siguen una distribución binomial n,p donde n es el número de tiradas y p la probabilidad de acertar la apuesta.

La probabilidad de acertar x veces en n tiradas es de n combinado con x por p elevado a x por (1-p) elevado a x-n, donde si p es la probabilidad de ganar 1-p es la probabilidad de fallar la apuesta.

Con esto podemos calcular la probabilidad de acertar 0, 1, 2 veces exactas etc….

Pero para saber si una apuesta es rentable lo que necesitamos saber realmente es si vamos a ganar o a perder, y para esto tenemos que saber cual es la ganancia promedio de esa apuesta, por lo que necesitamos primero definir primero el concepto de esperanza matemática.

La esperanza matemática para una variable binomial es el número de aciertos promedio para n experimentos, y se calcula como p·n, en nuestro caso será el número promedio de apuestas ganadas jugando n veces.

Esperanza Matemática de un Pleno

Entonces la esperanza de un pleno para 1 tirada será 1 · 1/37 que es aproximadamente 0.027, es decir que jugando una vez a pleno esperamos acertar un 2,7% en promedio

Para 2 tiradas será lo mismo pero por 2, que es aproximadamente el 5,4% de aciertos.

Para 3 tiradas, es lo mismo pero por 3,… y así podemos calcular la probabilidad para las tiradas que queramos.

Fijaros que para 37 tiradas la esperanza es 1, lo que significa que que en 37 tiradas apostando a pleno esperamos ganar en promedio 1 vez, que es lo que algunos habíais intuido ya.

Ganancia Esperada de un Pleno

Ahora que ya sabemos calcular el promedio de acierto para cada apuesta, y el premio, calcular la ganancia esperada para una apuesta es sencillo, ya que es sencillo calcular el beneficio y la pérdida promedio.

Ganancia esperada = Beneficio esperado – Pérdida esperada

donde:

Beneficio promedio = número de aciertos promedio · premio de la apuesta · apuesta = esperanza de ganar · premio · apuesta

Pérdida promedio = número de fallos promedio · la apuesta (que es lo que perdéis) = esperanza de perder · apuesta

Entonces la ganancia esperada para un pleno en 1 tirada:

es igual a la esperanza para 1 tiro · premio · apuesta – la esperanza de perder para 1 tiro (que se calcula igual pero con la probabilidad de perder) · apuesta:

Esto es 1/37 · 35 (que es el premio del pleno) · apuesta – 36/37 · apuesta, que es aproximadamente –0.027 por apuesta, es decir que en promedio esperáis a perder un 2,7% de vuestra apuesta cada vez que juguéis a un pleno. (2,6% para ruleta americana)

y lógicamente el margen esperado del casino o beneficio esperado de la casa será de un 2,7% de tu apuesta cada vez que juegues.

Si lo calculáis para dos tiradas la ganancia esperada es el doble de negativa por lo que el margen del casino esperado asciende hasta el 5.4%.

y que pasa cuando juguemos 37 veces?, como hemos visto esperamos ganar una vez, pero cual es el beneficio?

En 37 tiradas la esperanza de ganar es 1 y la esperanza de perder es lógicamente 36, por lo que si hacéis los cálculos veréis que el beneficio es de -1 · apuesta. Es decir que en 37 tiradas el casino espera ganar en promedio el valor de vuestra apuesta.

Esto significa que si jugáis a pleno 37 veces apostando por ejemplo 1 euro/dolar cada vez, váis a perder en promedio 1 euro/dolar.

Ganancia Esperada de todas las Apuestas

Como vemos, jugar a pleno además de ser difícil de acertar nos genera pérdidas a corto y a largo plazo. A más jugamos más dinero perdemos y necesitamos jugar en promedio 37 veces para acertar, pero cuando lo hacemos nos pagan 35 que es menos de lo que hemos perdido. Por lo que no parece una buena estrategia jugar a un solo número todo el rato.

Entonces, existe alguna jugada mejor que el pleno?

por eso voy a enseñaros unos resultados que he calculado por mi cuenta aplicando la misma fórmula para todas las apuestas. Así que vamos a ver la ganancia esperada o margen de la casa para todas las jugadas.

Apuestas Complejas

• Dos Columnas = (24/37∙0.5)Ap-(13/37∙1)Ap = 12/37Ap-13/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Dos Docenas = (24/37∙0.5)Ap-(13/37∙1)Ap = 12/37Ap-13/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Columna = (12/37∙2)Ap-(25/37∙1)Ap = 24/37A-25/37Ap = -1/37Ap    =~  –2.70% de Ap

• Docena = (12/37∙2)Ap-(25/37∙1)Ap = 24/37A-25/37Ap = -1/37Ap    =~  –2.70% de Ap

• Seisena/Línea = (6/37∙5)Ap-(31/37∙1)Ap = 30/37Ap-31/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Cuadro = (4/37∙8)Ap-(33/37∙1)Ap   = 32/37Ap-33/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Caballo/Media = (2/37∙17)Ap-(35/37∙1)Ap = 34/37Ap-35/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Transversal/Calle = (3/37∙11)Ap-(34/37∙1)Ap = 33/37Ap-34/37Ap = -1/37Ap  =~ –2.70% de Ap

• Pleno/Número = (1/37∙35)Ap-(36/37∙1)Ap = 35/37Ap-36/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

Apuestas Simples

• Rojo-Negro = (18/37∙1)Ap-(18/37∙1)Ap-(1/37∙1/2)Ap = 18/37Ap-19/37Ap = -1/74Ap =~  –1.35% de Ap

• Par-Impar = (18/37∙1)Ap-(18/37∙1)Ap-(1/37∙1/2)Ap = 18/37Ap-19/37Ap = -1/74Ap =~  –1.35% de Ap

• Pasa-Falta = (18/37∙1)Ap-(18/37∙1)Ap-(1/37∙1/2)Ap = 18/37Ap-19/37Ap = -1/74Ap =~  –1.35% de Ap

Además he construido una hoja de cálculo y he aplicado la fórmula que habéis visto para todas ellas, cogiendo la probabilidad y el premio de cada una, para ver cual es su ganancia jugando una o más veces. El resultado obtenido más importante es que cualquier jugada simple o múltiple tienen la misma ganancia esperada en la Ruleta europea y la misma ganancia siempre en la Ruleta americana. Esto es porque en la ruleta europea en las apuestas simples si sale el 0 o el doble 0 perdemos solamente la mitad de la apuesta, y eso hace que la ganancia mejore. De esta manera he podido calcular algunos resultados que me han llamado la atención y que váis a ver a continuación.

DESCARGAR PLANTILLA

-Vemos que las apuestas simples son mejor para nosotros que un pleno o cualquier apuesta múltiple.

-Vemos que dentro de las simples o las múltiples no importa la apuesta que cojáis, si cogéis dos docenas, ganarás mas veces pero cuando pierdas también perderás más, y si cogéis el pleno, el premio es mas grande, pero os costará mas dinero acertarlo que el premio que os darán, por eso el margen de la casa es el mismo para todas las apuestas.

Simulación con Dinero real

Aquí tenéis una pequeña simulación de lo que pasaría con dinero real.

• 1 tirada apostando 1 euro/dólar: perderéis en promedio 1 céntimo en las simples y casi 3 céntimos en las múltiples (esto es porque en las apuestas simples si sale el 0, perdéis solamente la mitad de la apuesta y hay que contemplar esa posibilidad)

• 1 tirada apostando 20 euros/dólares: perderéis 27 céntimos de promedio en las simples y 54 céntimos en las múltiples. Lo que significa que a más dinero apostáis mas dinero perdéis.

• 20 tiradas apostando 1 euro/dólar por tirada: perdéis de nuevo 27 y 54 céntimos. (ya que es la mismo jugar 1 vez apostando 20 euros que jugar 20 veces apostando un euro, aunque hay que tener en cuenta que jugando 20 veces vuestro promedio real será mas parecido a esas cantidades que jugando una. Lo que significa que a mas veces jugáis mas seguro perdéis.

• 37 tiradas con cualquier cantidad: perderéis en promedio esa cantidad en total en cualquiera de las múltiples y la mitad de la cantidad en las simples. Y si sustituís la x por cualquier número y sabréis cuanto váis a perder en promedio sea cual sea la apuesta.

Tened en cuenta que estos resultados son para la ruleta europea, pero la americana es todavía peor ya que las apuestas se premian igual pero tenéis menos probabilidades de acertar al haber un número más, además si sale el 0 o el doble 0 lo perdéis todo en este caso.

3.Preguntas más frecuentes

He reunido las preguntas más interesantes para un jugador de casino, y así resolver alguna de vuestras dudas:

PREGUNTA: Si han salido muchos rojos seguidos, Es más probable que salga un negro en la siguiente tirada?

RESPUESTA: NO, de echo es un error muy habitual de los jugadores. Tenéis que tener en cuenta que la ruleta es un mecanismo físico, que no recuerda las tiradas que se han hecho antes. Por eso cada tirada es independiente de la anterior y saldrá lo que tenga que salir, pero no lo contrario a lo que ha salido antes solo porque lo estemos esperando. Por eso se dice que la ruleta no tiene memoria. Es importante que aprendáis a calcular las probabilidades correctamente. Antes de jugar, que salgan muchos rojos o muchos negros seguidos tiene una probabilidad pequeña, pero una vez eso ya ha ocurrido, lo que viene a continuación no tiene mas probabilidad ni menos por ser lo contrario, de hecho sigue teniendo la misma probabilidad.

PREGUNTA: Qué pasa si juego varias apuestas a la vez, como por ejemplo varios números al mismo tiempo?

RESPUESTA: Combinar apuestas significa que haces varias apuestas al mismo tiempo, pero no significa que tengan relación, de echo cada apuesta se paga por separado. Por lo que si jugáis a varias apuestas, la casa siempre paga cada apuesta por separado. A nivel matemático si abarcas más números tu probabilidad puede aumentar, pero no tu rentabilidad. Al ser apuestas independientes estás haciendo muchas apuestas que no son rentables al mismo tiempo, y al final eso es todavía menos rentable. Recuerda que si quieres coger un grupo una jugada simple también agrupa números y tiene menos margen.

Combinar apuestas te dará más probabilidades de acertar alguna o varias si las combinas, el problema es que cada apuesta es independiente en premio, y sabemos que ninguna tiene un margen positivo, esto significa que aunque las combines estás haciendo muchas apuestas que no son rentables al mismo tiempo, y al final eso es todavía menos rentable. Recuerda que con apuestas simples también puedes abarcar grandes grupos de números, y si juegas en la ruleta Europea las apuestas simples tienen menos margen de pérdida.

PREGUNTA: ¿Y si juego a doblar mi apuesta cada vez que pierdo?

RESPUESTA: Doblar al rojo o al negro cuando se pierde (o cualquier otra jugada) se le conoce como “martingala”, y también ha sido estudiada matemáticamente. Lo primero que debes tener en cuenta es cuantas fichas tienes, y cuantas veces veces puedes permitirte doblar tu apuesta. Ten en cuenta que doblar implica apostar cada vez el doble de lo perdido anteriormente. Si pierdes una ficha, tienes que apostar 2, después 4, luego 8, 16, 32…. y esto es un crecimiento de pérdida exponencial, lo cual puede hacer que pierdas todas tus fichas en una racha relativamente corta de mala suerte. A más maximices la cantidad de veces que puedes doblar más podrás aguantar una siguiente vez doblando, pero esto solo se consigue de dos maneras: o teniendo mucho dinero, o apostando fichas de muy bajo valor. En cualquiera de las dos podrías salir victorioso la mayoría de veces que visites un casino, pero que ganes la mayoría de veces no significa que tu balance vaya a ser positivo en el tiempo. Recuerda que mientras ganes seguirás jugando. El problema es que matemáticamente existe una combinación de rojos o negros… seguidos que supera el límite de veces que podrás doblar con el capital que tienes  (porque nadie tiene dinero infinito). Seguramente piensas que es casi imposible que salgan 10 o 15 rojos seguidos, y razón no te falta, es bastante difícil, pero no imposible. El problema es que al jugar más tiempo estás aumentando las posibilidades de que esa combinación se manifieste. Por lo que a más juegas, más probable es que eso acabe sucediendo, y si eso sucede, necesitarás doblar con dinero que ya no es de beneficio por lo que puedes perder todo el beneficio que tenías acumulado de jugar haciendo esto y mucho más. Ten en cuenta que antes de jugar es muy difícil que salgan 10 rojos seguidos, pero una vez han salido 9, que salga otro más es bastante sencillo, porque la ruleta no tiene memoria. Créeme, por experiencia sé que no es tan complicado que salgan esas tiras de rojos y negros seguidos, así que mucho cuidado con la martingala.

PREGUNTA: Antes has dicho que el margen es el mismo para todas las jugadas múltiples, pero ¿hay alguna diferencia?

RESPUESTA: En realidad si, si coges una jugada difícil de acertar como un pleno, perderás con más frecuencia y vas a necesitar seguir jugando para llegar hasta el premio o recuperar el dinero que has perdido, con lo cual jugarás mas veces en promedio, y a más juegas más pierdes.

PREGUNTA: Y que pasa si tengo pocas fichas para apostar, ¿qué apuesta me recomiendas?

RESPUESTA: Si tienes pocas fichas, nunca cojas el pleno o cualquier jugada poco probable, porque no tendrás suficientes fichas para cubrir el promedio de tiros hasta acertar. Recuerda que para un pleno necesitas 37 tiradas para obtener un acierto en promedio, si no tienes las suficientes fichas la mayoría de veces te irás antes de acertar uno. Si tienes pocas fichas haz apuestas sencillas o probables.

PREGUNTA: Algo que me ha sorprendido es que jugar una partida con 20 euros es lo mismo que 20 partidas de un euro, porque a mi me gusta jugar, y no entiendo porque iba a jugar 1 sola partida de 20 euros pudiendo jugar 20 y pasar más tiempo jugando con el mismo dinero?

RESPUESTA: Según esta fórmula si, ganarás lo mismo en promedio, pero hay una cosa que has pasado por alto y es que el promedio es un dato estadístico, eso significa a mas tiradas haces más se acerca tu ganancia real a la que hemos calculado. Jugando una sola vez ganarás o perderás pero ese beneficio será muy diferente al calculado, en cambio por estadística jugando muchas veces te acercarás más a ese número. Es por eso el casino ya te da una serie de fichas por esos 20 euros, para que puedas jugar varias veces con esa cantidad. Porque a mas juegas, mas dejas que las matemáticas hagan su trabajo.

PREGUNTA: Entonces jugando esos 20 euros de ficha en ficha voy a perder mas dinero?

RESPUESTA: No más dinero pero si con mayor seguridad, concretamente te acercarás más a ese número que es negativo. Pero eso también hace sea más difícil ganar o perder más que esa cantidad. Jugar a largo plazo corrige las desviaciones puedas positivas o negativas que puedas tener y te acerca al valor esperado, eso significa un valor más estable, aunque te recuerdo que es negativo, por eso a más juegues más difícil te será ganar.

PREGUNTA: Me estás diciendo que al casino le interesa que tu juegues más veces aunque sea la misma cantidad?

RESPUESTA: Es exactamente lo que te estoy diciendo, jugando más veces será más difícil que la suerte te beneficie.

PREGUNTA: Entonces si quiero ganar tengo que poner los 20 euros en una sola apuesta?

RESPUESTA: Si quieres optar a ganar sí, pero si juegas los 20 euros a una sola apuesta vas a ganar o perderlo todo, porque solo tienes una tirada, Si quieres ganar (o perder) la misma cantidad pero jugando las fichas de uno en uno, vas a tener que ganar todas las veces (o perder todas las veces), porque para una misma jugada es lo mismo un premio de 20 euros que 4 premios de 5. Pero no es lo mismo acertar (o fallar) una vez, que acertar (o fallar) 4 veces seguidas.

PREGUNTA: Bien pero también puedo perder más dinero, porque también es más fácil fallar 1 vez que fallar 4.

RESPUESTA: Si te arriesgas puedes ganar más o perder más. Y de la otra manera perderás con más seguridad. (Hablando estadísticamente)

8. Conclusiones finales

Según las matemáticas no tiene sentido jugar a la ruleta para ganar dinero.

-El casino no necesita hacer trampas, simplemente los números no están a tu favor.

-Solo es posible ganar en la ruleta si conoces algún fenómeno físico, o algún dato estadístico real de esa ruleta que pueda cambiar las probabilidades de algunos números a tu favor. Para eso necesitas un estudio de miles y miles de números y una certeza matemática aceptable. Además deberás anotar las de apariciones de cada número en un fichero, por lo que quizás esta plantilla te ayude con esto:

DESCARGAR PLANTILLA RULETA

Pero cuidado, si ves que algún número tiene más apariciones, lo más probable es que sea producto del azar y no de que ese número tenga más probabilidad realmente, por lo que necesitarás miles de tiradas, y una certeza estadística aceptable. Tened en cuenta que los casinos luchan siempre para aleatoreizar lo máximo posible sus mecanismos. Pero como curiosidad podéis hacer un estudio de muchas tiradas para verlo.

En cualquier caso, si váis a jugar os recomiendo:

• Hacer solo apuestas simples y probables.
• Ser fugaces y haced pocas apuestas.
• No combinar apuestas.
• Limitar el dinero que váis a jugar antes de entrar, y nunca sobrepasar esa cantidad.
• Retiraros a tiempo (en esta última creedme).

Tened en cuenta que a la larga:

• A más dinero juegas, más gana la casa.
• A más combinas, más gana la casa.
• A más jugadas haces, más seguro y más gana la casa.

Entonces el casino gana siempre?

No siempre gana, pero si vuelves te acabará ganando.

Recuerda que la partida nunca termina.

Si quieres ver más videos como Póker o Blackjack puedes visitar mi canal de math for all donde los estudio con detalle.